جدول زیر را در نظر بگیرید و به سؤالات پاسخ دهید:
الف) عددهای سطر اول جدول با هم چه ارتباطی دارند؟
ب) هر یک از عددهای سطر دوم چه رابطه‌ای با عدد بالای آن دارد؟
ج) توان‌های عددهای سطر دوم تا $۲^۴$ با یکدیگر چه رابطه‌ای دارد؟
د) این الگو را ادامه دهید و در جاهای خالی عددهای مناسب بنویسید.
ه) به کمک جدول، تساوی‌های زیر را کامل کنید:
$۲^{-۳}=$
$۲^{-۴}=$
$۲^{-۵}=$
پاسخ تشریحی:
این فعالیت به ما کمک می‌کند تا با کشف یک الگو، به مفهوم توان‌های صفر و منفی برسیم.
**الف) ارتباط عددهای سطر اول:**
هر عدد در سطر اول، از تقسیم عدد قبلی (سمت چپی) بر **۲** به دست می‌آید. این یک الگوی هندسی است.
$ ... , ۱۶ \xrightarrow{\div ۲} ۸ \xrightarrow{\div ۲} ۴ \xrightarrow{\div ۲} ... $
**ب) رابطه‌ی بین سطر اول و دوم:**
هر عدد در سطر دوم، نمایش **توان‌دار** با پایه‌ی **۲** برای عدد بالای آن در سطر اول است.
برای مثال: $۱۶ = ۲^۴$ و $۸ = ۲^۳$.
**ج) ارتباط توان‌ها در سطر دوم:**
با حرکت از چپ به راست در سطر دوم، از **توان** هر عدد، **یک واحد کم می‌شود**.
$ ۴ \rightarrow ۳ \rightarrow ۲ \rightarrow ۱ \rightarrow ۰ \rightarrow -۱ \rightarrow ... $
**د) ادامه‌ی الگو:**
با ادامه‌ی هر دو الگوی بالا، به نتایج زیر برای قسمت انتهایی جدول می‌رسیم:
* **سطر اول:** $ ۲ \xrightarrow{\div ۲} ۱ \xrightarrow{\div ۲} \frac{۱}{۲} \xrightarrow{\div ۲} \frac{۱}{۴} \xrightarrow{\div ۲} \frac{۱}{۸} \xrightarrow{\div ۲} \frac{۱}{۱۶} \xrightarrow{\div ۲} \frac{۱}{۳۲} $
* **سطر دوم:** $ ۲^۱ \xrightarrow{-۱} ۲^۰ \xrightarrow{-۱} ۲^{-۱} \xrightarrow{-۱} ۲^{-۲} \xrightarrow{-۱} ۲^{-۳} \xrightarrow{-۱} ۲^{-۴} \xrightarrow{-۱} ۲^{-۵} $
**ه) تکمیل تساوی‌ها:**
با تطبیق دادن دو سطر در قسمت قبل، می‌توانیم حاصل توان‌های منفی را از روی جدول پیدا کنیم. این کار ما را به قانون کلی توان منفی می‌رساند: $a^{-n} = \frac{۱}{a^n}$.
* $ ۲^{-۳} = \frac{۱}{۸} $ (که همان $ \frac{۱}{۲^۳} $ است)
* $ ۲^{-۴} = \frac{۱}{۱۶} $ (که همان $ \frac{۱}{۲^۴} $ است)
* $ ۲^{-۵} = \frac{۱}{۳۲} $ (که همان $ \frac{۱}{۲^۵} $ است)
